a: Xét (A;AH) có

AH là bán kính

BC\(\perp\)AH tại H

Do đó: BC là tiếp tuyến của (A;AH)

b: Xét (A) có

BH,BD là các tiếp tuyến

Do đó: BH=BD và AB là phân giác của góc HAD

Xét (A) có

CE,CH là các tiếp tuyến

Do đó: CE=CH và AC là phân giác của góc HAE

c: BD+CE

=BH+CH

=BC

d: AB là phân giác của góc HAD

=>\(\widehat{HAD}=2\cdot\widehat{HAB}\)

AC là phân giác của góc HAE

=>\(\widehat{HAE}=2\cdot\widehat{HAC}\)

Ta có: \(\widehat{HAD}+\widehat{HAE}=\widehat{EAD}\)

=>\(\widehat{EAD}=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

=>\(\widehat{EAD}=2\cdot\widehat{BAC}=180^0\)

=>E,A,D thẳng hàng

a: Xét (A) có

BH,BD là các tiếp tuyến

Do đó: BH=BD và AB là phân giác của góc HAD

AB là phân giác của góc HAD

=>\(\widehat{HAD}=2\cdot\widehat{HAB}\)

Xét (A) có

CE,CH là các tiếp tuyến

Do đó: CE=CH và AC là phân giác của góc HAE

AC là phân giác của góc HAE

=>\(\widehat{HAE}=2\cdot\widehat{HAC}\)

Ta có: \(\widehat{HAE}+\widehat{HAD}=\widehat{DAE}\)

=>\(\widehat{DAE}=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

=>\(\widehat{DAE}=2\cdot\widehat{BAC}=180^0\)

=>D,A,E thẳng hàng

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot HC=AH^2\)

=>\(BD\cdot CE=\left(\dfrac{1}{2}DE\right)^2=\dfrac{1}{4}DE^2\)

Gọi M là trung điểm của BC

Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:

AD ⊥ DB; AE ⊥ CE

Suy ra: BD // CE

Vậy tứ giác BDEC là hình thang

Khi đó MA là đường trung bình của hình thang BDEC

Suy ra: MA // BD ⇒ MA ⊥ DE

Trong tam giác vuông ABC ta có : MA = MB = MC

Suy ra M là tâm đường tròn đường kính BC với MA là bán kính

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC.

a) Vì \(BC\bot AH\Rightarrow BC\) là tiếp tuyến của (A;AH)

Vì BD,BH là tiếp tuyến \(\Rightarrow AB\) là phân giác \(\angle DAH\Rightarrow\angle DAH=2\angle BAH\)

Vì CE,CH là tiếp tuyến \(\Rightarrow AC\) là phân giác \(\angle EAH\Rightarrow\angle EAH=2\angle CAH\)

\(\Rightarrow\angle DAH+\angle EAH=2\left(\angle BAH+\angle CAH\right)=2\angle BAC=180\)

\(\Rightarrow\angle DAE=180\Rightarrow D,A,E\) thẳng hàng

b) Vì  \(AB\) là phân giác \(\angle DAH\)

\(\Rightarrow\angle DAB=\angle BAH=90-\angle ABC=\angle ACB\)

\(\Rightarrow DA\) là tiếp tuyến của (BAC) nên DE là tiếp tuyến của (BAC)

mà \(\angle BAC=90\Rightarrow\) (BAC) là đường tròn đường kính (BC)

nên ta có đpcm

Tự vẽ hình nha !

a) Ta có AH vuông góc BC 

H thuộc (A;AH)

=> BC là tiếp tuyến của (A;AH)

Xét (A) có DB và BH là 2 tiếp tuyến cắt nhau

=> A1 = A2

Tương tự ta chứng minh được : A3 = A4

Mà A2 + A3 = 90 độ

=> A1 + A2 + A3 + A4 = 90 độ + 90 độ = 180 độ

=> DAE = 180 độ

=> D,A,E thẳng hàng

b) Gọi M là trung điểm BC

Theo tính chất tiếp tuyến ta có :

AD vuông góc BD

AE vuông góc CE

=> BD//CE

=> BDEC là hình thang

=> MA là đường trung bình của hình thang BDEC

=> MA // BD

=> MA vuông góc DE

Xét tam giác vuông ABC có : MA = MB = MC

=> M là tâm đường tròn đường kính BC với MA là bán kính

Vậy DE là tiếp tuyến đường tròn tâm M đường kính BC

a) Ta có: \(\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=\widehat{BAC}\)(tia AH nằm giữa hai tia AB,AC)

nên \(\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=90^0\)

Xét (A) có 

CE là tiếp tuyến có E là tiếp điểm(gt)

CH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(AH⊥CH tại H)

Do đó: AC là tia phân giác của \(\widehat{EAH}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒\(\widehat{EAH}=2\cdot\widehat{HAC}\)

Xét (A) có 

BH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(BH⊥AH tại H)

BD là tiếp tuyến có D là tiếp điểm(gt)

Do đó: AB là tia phân giác của \(\widehat{HAD}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒\(\widehat{DAH}=2\cdot\widehat{HAB}\)

Ta có: \(\widehat{EAD}=\widehat{EAH}+\widehat{DAH}\)(tia AH nằm giữa hai tia AE,AD)

mà \(\widehat{EAH}=2\cdot\widehat{HAC}\)(cmt)

và \(\widehat{DAH}=2\cdot\widehat{HAB}\)(cmt)

nên \(\widehat{EAD}=2\cdot\widehat{HAC}+2\cdot\widehat{HAB}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EAD}=2\cdot\left(\widehat{HAC}+\widehat{HAB}\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EAD}=2\cdot90^0=180^0\)

hay A,D,E thẳng hàng(đpcm)

b) Xét (A) có 

CE là tiếp tuyến có E là tiếp điểm(gt)

CH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(AH⊥CH tại H)

Do đó: CE=CH(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (A) có 

BH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(BH⊥AH tại H)

BD là tiếp tuyến có D là tiếp điểm(gt)

Do đó: BH=BD(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH^2=HC\cdot HB\)

hay \(AH^2=BD\cdot CE\)(1)

Ta có: AH=AE(=R)

mà AH=AD(=R)

nên AE=AD

mà E,A,D thẳng hàng(cmt)

nên A là trung điểm của ED

\(\Leftrightarrow EA=\dfrac{ED}{2}\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{ED}{2}\)

hay \(AH^2=\dfrac{DE^2}{4}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BD\cdot CE=\dfrac{DE^2}{4}\)(đpcm)

c) Xét (M) có 

ΔCNH nội tiếp đường tròn(C,N,H∈(M))

CH là đường kính

Do đó: ΔCNH vuông tại N(Định lí)

⇒CN⊥NH(3)

Vì (M) cắt (A) tại N và H

nên MA là đường trung trực của NH(Vị trí tương đối của hai đường tròn)

hay MA⊥NH(4)

Từ (3) và (4) suy ra CN//AM(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

a, Chú ý: Ab là phân giác góc  D A M ^ ; AC là phân giác góc  E A M ^  từ đó D A E ^ = 180 0

b, Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến và hệ thức về đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền trong tam giác vuông BAC => BD.CE = BH.CH = C H 2 = D E 2 4

c, ∆HNC nội tiếp đường tròn (M) đường kính HC => HN ⊥ NC

Chứng minh AN là tiếp tuyến của (M)

Do đó AM ⊥ HN => AM//NC

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

AB là tia phân giác của góc HAD

Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.